¿Y si el Principio de Indeterminación fuese más antiguo de lo que crees?

 

Werner Heisenberg en sus años mozos. Seductor.

[¿Por qué indeterminación y no incertidumbre? https://youtu.be/2W8i-BVWehc ]

Me niego a pensar que no hayas oído nunca bien en clase o en una charla divulgativa algo como "el Principio de Indeterminación de Heisenberg es uno de los resultados más novedosos de la Física Cuántica". ¿Recuerdas qué dice este enunciado? Escarba en tu memoria durante unos segundos (no en Google, diablillo)

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y a ver si se parece a esto:

¡Seguro que te has acercado! ¿Verdad? Un poco más difícil resulta entender lo que nos dicen los símbolos de esta relación entre el producto de dos cantidades con una constante numérica (que además es positiva). El lado izquierdo de la inecuación presenta el producto de dos desviaciones estándar, una de la posición x y otra del momento lineal p de una partícula cuántica (puedes encontrar la explicación clásica del momento lineal aquí). ¿Qué es una desviación estándar? Si el concepto de media es un indicador de una tendencia en un estudio estadístico, la desviación estándar informa acerca de la separación que tienen los datos respecto de la media: una desviación pequeña indica que los datos son más homogéneos, más similares a la media. Por lo tanto, el Principio de Indeterminación de Heisenberg establece que el producto de la desviación estándar de la posición y el momento lineal de una partícula cuántica es mayor o igual SIEMPRE que una cantidad constante positiva (hache barra representa la omnipresente constante de Planck de la Física Cuántica divida por dos veces pi). ¿Esto qué implica? Agárrate: cualquier reducción significativa en la desviación de momento o posición implicará un aumento similar de la otra para mantener siempre que el producto de una por otra sea mayor que la cantidad del otro lado. ¡Fascinante! Normalmente se suele expresar de otra manera equivalente: cuanto más conozcamos la posición o el momento lineal de una partícula, mayor indeterminación tendremos en su otra magnitud. Esto constituye un cambio de paradigma brutal con la Física Clásica porque, si recuerdas de mis entradas del diablillo, nunca mencioné que hubiese ningún impedimento en conocer la posición y la velocidad/momento de las pelotitas a la vez por el mero hecho de que desde el punto de vista clásico no existe este problema. Ahora bien, ¿esta propiedad tan especial fue descubierta durante las primeras décadas del siglo XX, con el nacimiento de la Cuántica, o quizás procedía de un tiempo anterior? 

Observa cómo si el momento lineal tiene una indeterminación mayor (curva más ancha), la posición está muy localizada (curva más estrecha).

Para abordar la cuestión, primero debemos entender que en este nuevo tipo de Física las partículas de materia dejan de ser puntitos del espacio y se convierten en ondas (y paquetes de ondas). Sí, has leído bien. ¿Te acuerdas de las partículas del gas del diablillo? De haber tratado con ellas de manera cuántica, habríamos tenido que explicar que cada una lleva asociada un aparato matemático conocido como función de onda de donde se puede extraer toda la información física relevante; debemos abandonar la "Física del punto" y abrazar la "Física de las ondas" si queremos entender bajo el prisma Cuántico el comportamiento de la materia. Y bien, ¿se habían estudiado las ondas previamente a este cambio de paradigma? ¡Por supuesto! Desde mediados del siglo XVII con Christiaan Huygens ya se establecieron algunas de las caraterísticas fundamentales debido al interés por conocer y dominar el sonido y la luz, dos tipos de ondas. Las matemáticas nos permiten estudiar sus propiedades gracias al análisis de funciones, ya que modelizamos las ondas como curvas en el espacio generadas por estos instrumentos; a esto es a lo que llamamos función de onda. Un ejemplo de su representación es la animación que sigue a este párrafo.

Se puede trabajar con estas funciones de onda para extraerles todo el jugo de distintas maneras. En particular, existe un conjunto de instrucciones utilizadas frecuentemente por los científicos (¡y músicos!) para analizar las ondas cuyas bases fueron sentadas en el primer tercio del silgo XIX por un investigador francés que estudiaba la propagación del calor. El trabajo de Joseph Louis Fourier estaba llamado a facilitar la vida a todos aquellos que se dedicaran en el futuro a analizar tanto armónicos musicales como Física Cuántica. A la inmensa mayoría de ondas comunes representadas matemáticamente por una función se les puede aplicar una transformación que permita estudiarlas desde otro punto de vista (en otro espacio); se conoce a esta herramienta como transformación de Fourier. ¿Qué hace exactamente? Las ondas de sonido que registran nuestras grabadoras se encuentran localizadas en el llamado dominio del tiempo (miden una serie de impulsos eléctricos a lo largo de un periodo); si estuviéramos interesados en poder mejorar una pista de audio (eliminar ruidos parásitos, corregir notas, etc.) deberíamos poder identificar primero en qué frecuencias se encuentran estos desperfectos para tratarlos individualmente y no alterar la parte aceptable. Los programas informáticos contienen un algoritmo que realiza la transformación de Fourier a las señales acústicas para realizar este tratamiento; lleva la onda del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Esto se puede extender en general para espacios que no tengan nada que ver con estas magnitudes físicas, por supuesto, pero mantengamos los pies en el suelo. Esta herramienta resulta tremendamente útil pero tiene un coste (no me refiero a resolver integrales, que también). En general, cuando una función está muy concentrada en un dominio, se necuentra muy extendida el otro; una curva como la del gif anterior se encuentra totalmente extendida en el tiempo pero su transformada de Fourier está localizada en un punto. La transformación permite ver la otra cara de la moneda, no crear otra distinta. Matemáticamente se puede demostrar que entre dos variables x y k relacionadas mediante transformación de Fourier existe una condición de compromiso dada por:

Esto es un principio general del análisis de Fourier que se deduce a partir de la desigualdad de Schwarz para integrales de funciones reales donde no intervienen por ningún lado preceptos cuánticos. Si pensamos en x como posición y k como una magnitud llamada número de onda, tan sólo tienes que multiplicar por hache barra (constante positiva) a ambos lados de la desigualdad para recuperar el resultado de la primera expresión de esta entrada. ¿Dónde nos deja esto? El Principio de Indeterminación de Heisenberg no es más que un resultado particular obtenido en base a una teoría presentada décadas antes, si bien es cierto que el rigor matemático tardó en llegar a la teoría de Fourier. Este archinombrado principio de la Física Cuántica es un (vulgar) resultado de una teoría del tratamiento matemático de las ondas. La posición y el momento lineal cuánticos actúan como las dos caras de una moneda porque se relacionan mediante una transformación de Fourier.

Ya pasó todo. Ahora reposa y reflexiona sobre esta entrada y recuerda que, al final, las ondas están en más sitios de los que crees. También en la sonrisa de Heisenberg.

Algunas fuentes para consultar para los más atrevidos:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Uncertainty_principle

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_canonical_transformation