Una guía para exorcistas (Parte I): la mecánica clásica y principios hamiltonianos.

 

“Si he logrado ver más lejos es por subirme a los hombros de los Gigantes/

 If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants.” Isaac Newton

La primera entrada de este blog presenta el experimento mental que el físico J.C. Maxwell propuso a un colega y que adquirió una gran notoriedad en el ámbito académico a partir de su publicación en el libro The theory of heat del autor escocés. Si recordamos, el experimento concebía un diablillo capaz de actuar sobre un gas en equilibrio dividido entre dos compartimentos de un recipiente para separar las moléculas más rápidas de las más lentas, permitiéndole obtener una mitad “caliente” y otra “fría”. El interés práctico de esta cuestión radica en que, si el razonamiento fuese correcto, se podría llevar a la práctica una fuente de conversión de calor en trabajo sin pérdidas por (el sistema está aislado, luego no intercambia energía con el exterior) inacabable. Esto recibe el nombre de móvil perpetuo. El interés en lograr algo así es evidente y no voy a entrar en ello; lo que vamos a hacer a lo largo de una serie de entradas será determinar si acaso este diablillo es plausible y cómo encarar su exorcismo en caso de que Maxwell hubiese metido la pata.

En primer lugar, debemos establecer que la agitación o movimiento de las moléculas del gas son gobernadas por la dinámica clásica y no existen efectos cuánticos. Esto tiene sentido por varios motivos. El primero es sencillamente histórico: cuando Maxwell concibió este experimento, la mecánica cuántica no estaba ni siquiera en el imaginario del más loco de los físicos, por lo que pensar que habría algún efecto de tipo fermiónico por ejemplo resulta irrisorio. Otra razón que destacar tiene que ver con una ley universal: a los físicos nos gusta imaginar cosas simples para no calentarnos demasiado la cabeza, así que el gas que Maxwell concibió no se encontraba en un tanque a presión, ni sobrecalentado, etc. En otras palabras, se comporta idealmente: un gas ideal. Muchos gases en condiciones habituales se comportan como tal, así que no hay motivo para considerar que este debiera ser exótico. Los gases ideales siguen una ley (ecuación) bien comprobada que relaciona las tres variables fundamentales (temperatura, presión y volumen) y no presentan interacciones intermoleculares de ningún tipo (cada molécula de gas puede chocar con las paredes del recipiente donde se encuentra o contra otra pero nunca influyen una sobre otra a distancia). Para explicar esto último resulta conveniente imaginarse cada molécula como una pelota que se mueve por el recipiente; las pelotas pueden colisionar entre sí y con las paredes pero nunca una pelota avisa a otra antes de chocarse para cambiar las trayectorias (son bastante estoicas en este aspecto). Un fisiquillo clásico avispado, pongamos que se llamara Timmy, podría saltar ahora mismo “¡Eso no es verdad! Las pelotas sí ejercen una interacción a distancia entre sí porque tienen masa y, por tanto, cada una atrae gravitatoriamente a las otras”. Y yo, a ese avispado, le diré. “Pequeño Timmy, ¡tan puntilloso como siempre! En efecto, las masas se atraen entre sí, pero como el valor de la fuerza de gravedad para partículas tan pequeñas es ridículamente minúsculo, diremos que es despreciable, como tú pequeño Timmy”. 

Ahora ya sabemos que el gas está compuesto de pelotitas que se mueven rápido, algunas más que otras, siendo el promedio de esas velocidades una magnitud proporcional a algo que llamamos la temperatura del gas. El concepto de temperaturas no es único ni está bien definido (temperaturas negativas son más “altas” que las más positivas) pero eso nos va a importar más bien poco o nada, lo menciono para lucirme. La fuerza por unidad de superficie a la que el gas somete al recipiente recibe el nombre de presión, y el espacio (tridimensional) que ocupa se denomina volumen. He mencionado ya el elefante en la habitación: la fuerza. ¿Cómo la define la mecánica clásica? El resultado de la derivada con respecto del tiempo del momento lineal, o sea el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. Matemáticamente:

TODO SISTEMA DINÁMICO EXPLICABLE A PARTIR DE LA FÓRMULA ANTERIOR SE CONSIDERA CLÁSICO. La flechita encima de algunas magnitudes indica su naturaleza vectorial. De un modo totalmente ingenuo y para nada riguroso, puedes pensar en un vector como un objeto que codifica unas coordenadas referidas a una referencia en un plano o en un espacio de más dimensiones. Entender los vectores y sus hábitats naturales, espacios vectoriales, no es ni el objetivo de este blog ni un requisito para seguir el razonamiento del diablillo, así que puedes dejar de preocuparte. Volviendo a la fuerza, habitualmente se presentan casos de estudio donde la masa del sistema permanece constante. En estos casos, según las reglas de derivación, la fórmula queda:

Resultará familiar, ¿verdad? Todos los ejercicios que se trabajan hasta el Bachillerato consideran que la masa es un escalar (número, no vector) constante en el tiempo, pero existen algunos sistemas clásicos de interés relevante cuya masa varía con el tiempo. ¿Se te ocurre alguno? Déjalo en comentarios.

A lo largo de los años, la sacrosanta fórmula de Newton fue quedándose atrás. Aparecieron nuevas “formulaciones” cuyo objetivo fue mejorar la aplicabilidad de la mecánica clásica a sistemas más variopintos utilizando unas matemáticas más elegantes, como nos gusta decir. De esta manera, Lagrange, primero, y Hamilton, después, propusieron nuevas maneras de entender el mundo clásico totalmente respetuosas con la ecuación de Newton, ofreciendo simplemente otro punto de vista para analizar más eficazmente los problemas.

En concreto, el enfoque hamiltoniano se erigió a lo largo del siglo XIX como la forma dominante para trabajar en Física. No vamos a entrar en aspectos técnicos más allá de lo siguiente: asume que toda la energía de un sistema se escribe matemáticamente en la forma de una expresión llamada hamiltoniano y que contiene toda la información relevante del sistema, porque a partir de esta expresión se pueden conocer con total confianza tanto la posición como el momento lineal de la partícula, las dos coordenadas fundamentales de la mecánica clásica. El ejemplo más sencillo que se puede hacer es el que presento a continuación: el hamiltoniano de una partícula que viaja sola en el vacío:

Una pelota del gas que se mueve por el interior del recipiente sin chocar contra nada se considera una partícula libre. Como se ve, la energía de la pelota depende tan sólo del cuadrado de su momento lineal y de su masa. Aplicando las relaciones que aparecen en el principio de esta entrada, podemos afirmar que su velocidad y su aceleración son, respectivamente:

 

Como no podía ser de otra manera. ¡OJO! Aquí hay varias cosas a aclarar para que no haya confusiones. Esas "letras raras" que aparecen en el "numerador" y "denominador" significan derivada parcial: derivar la magnitud de "arriba", H, con respecto a la de abajo, momento p o posición q, tomando el resto de símbolos si los hubiere como constantes. Las ecuaciones de Hamilton no permiten calcular la velocidad como vector (no tiene flechita arriba que veías antes) sino su módulo; no nos informan de la dirección y sentido de la partícula sino de cuánto marca su velocímetro. Esto se debe a que el hamiltoniano es una magnitud escalar, numérica, y a partir de ellas no se pueden obtener vectores.

En el siguiente post sobre el exorcismo, descubriremos que la posición y el momento lineal permiten descubrir un nuevo espacio donde se pueden conocer los sistemas clásicos con tanta o más precisión que en el espacio real. No serán necesarios más formulotes sino abrir la mente a otro modo de trabajo. Pero esto será para otro momento.